על שימש במובן שֵירת ומכאן גם שירותים שנוצרה גם כתרגום שאילה.

הרעיון שאתה מעלה יפה, ואפשר למצוא לו סמך לא רק מתרגום אונקלוס, אלא גם מלשון חז"ל: שימש הוא כמעט תרגום אוטומטי של שֵירת המקראי, כגון: "עבדים המשמשים את הרב"; "חולים ומשמשיהם"; "אין בין כהן משמש לכהן שעבר…".

אבל נראה לי שבזמן שהתחילו להשתמש במילה "שירותים" (אמצע שנות השישים?) כבר לא היה הציבור מצוי כל כך אצל המקורות, וסביר יותר שהמילה נוצרה כתרגום שאילה של המילה facilities באנגלית. אגב, בערך באותו הזמן הפך השַמָּש בבית הספר לשָרָת.